定义
最简单和常见的数学归纳法是证明当
n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
- 证明当n= 1时命题成立。
- 假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
- 证明第一张骨牌会倒。
- 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
images/loading.gif' data-original="http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=efc70d84c5fdfc03e178e4bae43f87a9/aec379310a55b319ccff790f45a98226cffc1741.jpg" />骨牌一个接一个倒下就如同一个值接下一个值
那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：
证明1：所有的马都是一种颜色
首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。
第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：
1, 2, 3……n, n+1对其中
（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；
对
（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；
由于这两组中都有
（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。
这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。
证明2：举例证明下面的定理
——等差数列求和公式
第一步，验证该公式在
n = 1 时成立。即有左边=
1，右边=
=1，所以这个公式在
n =
1时成立。
第二步，需要证明假设
n =
m 时公式成立，那么可以推导出
n =
m+1 时公式也成立。步骤如下：
假设
n =
m 时公式成立，即
（等式1）
然后在等式两边同时
分别加上
m + 1 得到
（等式2）
这就是
n =
m+1 时的等式。我们下一步需要根据 等式1证明 等式2 成立。通过因式分解合并，等式2的右边
也就是
这样我们就完成了由n=m成立推导出n=
m+1成立的过程，证毕。
结论：对于任意自然数
n，公式均成立。
对于以上例2的分析
在这个证明中，归纳的过程如下：
- 首先证明n=1成立。
- 然后证明从n=m 成立可以推导出n=m+1 也成立（这里实际应用的是演绎推理法）。
- 根据上两条从n=1 成立可以推导出n=1+1，也就是n=2 成立。
- 继续推导，可以知道n=3 成立。
- 从 n=3 成立可以推导出n=4 也成立……
- 不断重复3的推导过程（这就是所谓“归纳”推理的地方）。
- 我们便可以下结论：对于任意自然数n，公式成立。
合理性
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：
自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）
比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.
下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。
对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）
k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。
原标题：数学归纳法
关键词：
我知道了 