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[数据库]广义线性模型


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     前面的文章已经介绍了一个回归和一个分类的例子。在逻辑回归模型中我们假设:

     

     在分类问题中我们假设:

    

     他们都是广义线性模型中的一个例子,在理解广义线性模型之前需要先理解指数分布族。

 

指数分布族(The Exponential Family)

  如果一个分布可以用如下公式表达,那么这个分布就属于指数分布族:

 

    公式中y是随机变量;h(x)称为基础度量值(base measure);

    η称为分布的自然参数(natural parameter),也称为标准参数(canonical parameter);

    T(y)称为充分统计量,通常T(y)=y;

    a(η)称为对数分割函数(log partition function);

    本质上是一个归一化常数,确保概率和为1。

    当T(y)被固定时,a(η)、b(y)就定义了一个以η为参数的一个指数分布。我们变化η就得到这个分布的不同分布。

 

    伯努利分布属于指数分布族。伯努利分布均值为φ,写为Bernoulli(φ),是一个二值分布,y ∈ {0, 1}。所以p(y = 1; φ) = φ; p(y = 0; φ) = 1 − φ。当我们变化φ就得到了不同均值的伯努利分布。伯努利分布表达式转化为指数分布族表达式过程如下:

    

    其中,

 

      再举一个高斯分布的例子,高斯分布也属于指数分布族。由高斯分布可以推导出线性模型(推导过程将在EM算法中讲解),由星型模型的假设函数可以得知,高斯分布的方差与假设函数无关,因而为了计算简便,我们设方差=1。高斯分布转化为指数分布族形式的推导过程如下:

其中

 

      许多其他分部也属于指数分布族,例如:伯努利分布(Bernoulli)、高斯分布(Gaussian)、多项式分布(Multinomial)、泊松分布(Poisson)、伽马分布(Gamma)、指数分布(Exponential)、β分布、Dirichlet分布、Wishart分布。

 

 

构建广义线性模型(Constructing GLMs)

      在分类和回归问题中,我们通过构建一个关于x的模型来预测y。这种问题可以利用广义线性模型(Generalized linear models,GMLs)来解决。构建广义线性模型我们基于三个假设,也可以理解为我们基于三个设计决策,这三个决策帮助我们构建广义线性模型:

  1. ,假设满足一个以为参数的指数分布。例如,给定了输入x和参数θ,那么可以构建y关于的表达式。
  2. 给定x,我们的目标是要确定T(y),即。大多数情况下T(y)=y,那么我们实际上要确定的是。即给定x,假设我们的目标函数是。(在逻辑回归中期望值是,因此目标函数h是φ;在线性回归中期望值是μ,而高斯分布中,因此线性回归中目标函数)。
  3. 假设自然参数η和x是线性相关,即假设:

 

      假设有一个预测问题:基于特征商店促销活动、最近的广告、天气、星期几等特征x,来预测商店在任一小时内的顾客数目y。

      根据概率知识可知,x、y符合泊松分布。泊松分布属于指数分布族,我们可以利用上面的3个假设,构建一个广义线性模型来进行构建预测模型。

 

GLMs构建最小二模型

      线性回归中的优化目标y(损失函数)是由最小二乘法得到的,可以使用广义线性模型构建最小二乘模型。三个假设:

  1. 最小二乘法得到的目标变量y是一个连续值,我们假设给定x下y的分布符合高斯分布。假设1中的ExponentialFamily(η)就是高斯分布。
  2. 在高斯分布中,目标函数
  3. 假设:

      推导过程如下:

      第一步变换根据假设2:

      第二步变换根据y|x; θ ∼ N(μ, σ2),高斯分布的期望值是μ

      第三步根据假设1:高斯分布中

      第四步根据假设3:

 

      现在已经使用广义线性模型构建出了最小二乘模型,接下来的工作就是利用梯度下降、牛顿方法来求解θ。梯度下降、牛顿方法的内容请参考之前的讲义。

 

 

GLMs构建逻辑回归

      逻辑回归可以用于解决二分类问题,而分类问题目标函数y是二值的离散值,。根据统计知识,二分类问题可以选择伯努利分布来构建模型。

      在伯努利分布的指数分布族表达式中我们已知:,从而得到

      构建广义线性模型的三个假设:

  1. 假设符合伯努利分布,
  2. ,伯努利分布中

 

推导过程如下:

    

      同最小二乘模型一样,接下来的工作就由梯度下降或牛顿方法来完成。

 

      注意一下上面的推到结果,回忆一下,在逻辑回归中,我们选用Sigmoid函数

      之所以在逻辑回归中选用这个g(z)作为Sigmoid函数是由一套理论作支持的,这个理论便是广义线性模型。